Bóng của các khối hình học cơ bản

1. Bóng của các khối hộp:

Trong trường hợp cả khối hộp chỉ đổ bóng lên mặt đất – Hình 5-22 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P­₂), để tìm bóng của cả khối hộp, ta chỉ cần đổ bóng của một điểm A thuộc mặt nắp trên của hộp và áp dụng hệ quả của nguyên tắc 1 (bóng đổ của mặt nắp trên hộp có diện tích và hình dạng giống với chính nó). Sau khi có bóng đổ của nắp hộp, ta nối các đỉnh của bóng nắp hộp về các điểm chân hộp và lấy đường viền ngoài của bóng ta có toàn bộ bóng cần tìm.

Hình 5-22

Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – Hình 5-23 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu P₁ và mặt phẳng hình chiếu bằng P₂), để tìm bóng của cả khối hộp, ta chỉ cần đổ bóng của các điểm A, B, C thuộc mặt nắp trên của hộp. Áp dụng thêm nguyên tắc 1 cho các đoạn hẳng đổ bóng lên mặt phẳng song song với chúng ta có được bóng cần tìm.

Hình 5-23

- Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – Hình 5-24 (bóng đổ loại 1 và loại 3 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P₂ và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối hộp, ta cũng tìm bóng của các điểm A, B, C thuộc mặt nắp trên của hộp trên mặt phẳng nghiêng. Áp dụng nguyên tắc 5 cho các đoạn thẳng chiếu bằng đi qua các điểm A, B, C ta có bóng của khối hộp trên hình chiếu bằng. Từ vị trí các giao điểm của cạnh viền bóng C₂C^P_2b và A₂A^P_2b với vết bằng V₂P, gióng lên trục x và nối về C^P_1b và A^P_1b ta có bóng của khối hộp trên hình chiếu đứng.

Hình 5-24

2. Bóng của khối trụ:

- Trong trường hợp cả khối trụ chỉ đổ bóng lên mặt đất – Hình 5-25 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiều bằng P₂), để tìm bóng của cả khối trụ, ta chỉ cần đổ bóng của một điểm O là tâm của mặt nắp trên của khối trụ và áp dụng hệ quả của nguyên tắc 1 (bóng đổ của mặt nắp trên khối trụ có diện tích và hình dạng giống với chính nó).

Hình 5-25

Sau khi có bóng đổ của nắp trụ, ta vẽ hai đường thẳng tiếp xúc từ bóng nắp trụ về đáy trụ và lấy đường viền ngoài của bóng ta có toàn bộ bóng đổ cần tìm.

Tại vị trí các tiếp điểm chân bóng của đáy trụ trên hình chiếu bằng, gióng vuông góc lên hình chiếu đứng ta được hai đường bao bóng bản thân của khối trụ. Nhận xét là vị trí các tiếp điểm này nằm trên đường thẳng nghiêng 45⁰ so với x và vuông góc với hướng tia sáng tới.

Hình 5-26

Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – Hình 5-26 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P₁ và mặt phẳng hình chiếu bằng P₂), để tìm bóng của cả khối trụ, trước tiền ta cần xác định lại các đường bao bóng bản thân của khối trụ. Trên hình chiếu bằng, qua tâm O_­2 vẽ đường thẳng nghiêng 45⁰ so với x và vuông góc với hướng tia sáng tới. Đường thẳng này cắt đường tròn đáy trụ tại 2 tiếp điểm 1₂ và 3₂. Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên hình chiếu đứng ta có các đường bao bóng bản thân của khối trụ có đỉnh là 1₁ và 3₁. Chọn thêm một điểm 2 (2₁ 2₂) thuộc mặt nắp trụ như hình vẽ. Đổ bóng (loại 1) cả ba điểm 1, 2, 3 lên mặt vách và nối lại ta có phần bóng phía trên của mặt trụ là một cung elip. Theo nguyên tắc 1, tại vị trí 1_1b và 3_1b, ta có bóng của mặt trụ là 3₂, ta có bóng của mặt trụ là hai đường nghiêng 45⁰ so với x.

Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – Hình 5-27 (bóng đổ loại 1 và loại 3 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu P₂ và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối trụ, trước tiên ta cũng cần xác định các đường bao bóng bản thân đi qua điểm 1 và 3 của khối trụ và chọn thêm một điểm 2 (2₁ 2₂) thuộc mặt nắp trụ như hình vẽ. Đổ bóng (loại 3) cả ba điểm 1, 2, 3 lên mặt vách nghiêng và nối lại ta có phần bóng phía trên của mặt trụ là một cung elip.

Theo nguyên tắc 5, trên hình chiếu bằng, nối các điểm 1₂1^Q_2b và 3₂ 3^Q_2b, ta có đường bao bóng đổ của mặt trụ là hai đường nghiêng 45⁰ so với x.

Từ vị trí cắt nhau của các đường bóng 1₂1^Q_2b và 3₂3^Q_2b với vết V₂Q, gióng lên x và nối về các điểm bóng tương ứng trên hình chiếu đứng là 1^Q_1b và 3^Q_1b ta được toàn bộ bóng đổ và bóng bản thân cần tìm của khối trụ.

Hình 5-27

3. Bóng của khối nón:

Hình 5-28

Trong trường hợp cả khối nón chỉ đổ bóng lên mặt đất – Hình 5-28 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P₂), để tìm bóng đổ của cả khối nón, ta chỉ cần đổ bóng của đỉnh nón S. Kẻ các đường tiếp xúc từ điểm bóng của đỉnh nón S_2b về đáy nón ta được bóng đổ của khối nón trên hình chiếu bằng.

Từ hai vị trí tiếp điểm vừa tìm của đường bao bóng đổ với đáy nón trên hình chiếu bằng, gióng lên trục x và nối về đỉnh nón S₁ trên hình chiếu đứng ta có được đường bao bóng bản thân của khối nón.

Lưu ý: Tùy vào góc nghiêng α của đường sinh mặt nón với mặt phẳng hình chiếu bằng P₂ mà ta có phần bóng đổ và bóng bản thân của mặt nón thay đổi theo.
- Nếu α < theta : Toàn bộ mặt nón được chiếu sáng và không có bóng (Hình 5-29a).
- Nếu α = theta: Ta quy ước bóng của đỉnh nón rơi ngay trên đáy nón (mặt nón không có bóng đổ) và đường bao bóng bản thân của khối nón là một đường kẻ duy nhất từ đỉnh nón S về điểm bóng S_b trên đáy nón – Hình 5-29b. Mặt nón này còn có tên gọi là mặt nón giới hạn, vì các mặt nón có góc α > : sẽ bắt đầu có bóng đổ.
- Nếu α = 45⁰: Mặt nón có các đường bao bóng đổ và bóng bản thân là những đường thẳng nằm ngang và vuông góc x và chắc đúng một phần tư đường tư (phần tư phía trên bên phải của mặt nón trên hình chiếu bằng) – Hình 5-29c.

Hình 5-29

Trong trường hợp mặt nón úp ngược, phần bóng bản thân của những mặt nón có góc nghiêng α > sẽ ngược lại với phần bóng của bản thân của mặt nón bình thường (Hình 5-30).

Hình 5-30

Trong trường hợp cả khối nón đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – Hình 5-31 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P₁ và mặt phẳng hình chiếu bằng P₂), để tìm bóng đổ của cả khối nón, ta cần tìm bóng đổ thật của đỉnh nón S_1b rớt trên mặt phẳng P₁ và bóng đổ ảo S_{2b (ảo)} của đỉnh nón rớt trên mặt phẳng P₂.

Trên hình chiếu bằng, nối các đường bao bóng đổ của khối nón từ đỉnh S_{2b (ảo)} về tiếp xúc đáy nón. Từ các điểm này, gióng vuông góc lên x và nối về đỉnh S₁ ta được các đường bao bóng bản thân của khối nón trên hình chiếu đứng.

Trên hình chiếu bằng, từ các vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với trục hình chiếu x, nối về đỉnh bóng thật S_1b trên hình chiếu đứng ta được phần bóng đổ còn lại của khối nón.

Hình 5-31

Trong trường hợp khối nón đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – hình 5-32 (bóng đổ loại 1 và loại 3 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P₂ và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối nón, trước tiên ta cũng cần xác định bóng đổ thật của hình nón S^Q_b (S^Q_1b S^Q_2b) rớt trên mặt phẳng nghiêng Q (loại 3) và bóng đổ ảo S_{2b (ảo)} (loại 1) của đỉnh nón rớt trên mặt phẳng P₂.

Trên hình chiếu bằng, nối các đường bao bóng đổ của khối nón từ đỉnh S_{2b (ảo)} về tiếp xúc đáy nón. Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên x và nối về đỉnh S₁ ta được các đường bao bóng bản thân của khối nón trên hình chiều đứng.

Trên hình chiếu bằng, từ vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với vết V₂Q₂, nối về đỉnh bóng thật S^Q_2b ta được phần bóng đổ của khối nón trên hình chiếu bằng. Cũng từ vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với vết V₂Q, gióng vuông góc lên trục hình chiếu x và nối về đỉnh bóng thật S^Q_1b ta được phần bóng đổ của khối nón trên hình chiếu đứng.

Hình 5-32

4. Bóng của khối cầu:

Trong trường hợp cả khối cầu chỉ đổ bóng lên mặt đất – Hình 5-33 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P₂). Ta có thể xem bóng đổ của mặt cầu là giao tuyến của mặt trụ tia sáng (bao quanh mặt cầu) với mặt phẳng hình chiếu bằng P₂. Như vậy, giao tuyến bóng đổ này là một elip e_b.

Mặt trụ tia sáng bao quanh mặt cầu sẽ tiếp xúc với mặt cầu theo một đường tròn, đường tròn này cũng chính là đường bao bóng bản thân của mặt cầu e.

Để xác định các đường bao bóng bản thân e và đường bao bóng đổ e_b của mặt cầu được dễ dàng, ta thực hiện phép thay mặt phẳng hính chiếu đứng sao cho P^’₁ song song với hướng tia sáng – Hình 5-34. Như vậy, trong hệ thống mới này, tia sáng sẽ là những đường thẳng mặt và nghiêng với trục x một góc theta.

Hình 5-33

Hình 5-34

Bóng đổ e_2b của mặt cầu là một elip có tâm O_2b là bóng (loại 1) của tâm cầu, có trục ngắn CD vuông góc với hướng tia sáng tới và có độ dài bằng hai lần bán kính r của mặt cầu. Trục dài AB của elip trùng với hướng tia sáng tới.

Từ hình chiều đứng mới của mặt cầu, bằng liên thuộc ta cũng xác định được lần lượt các đường bao bóng bản thân của mặt cầu là e₂ trên hình chiếu bằng và e₁ trên hình chiếu đứng.

Ta sẽ chứng minh các đầu mút trục ngắn và trục dài của elip bóng đổ khi nối lại sẽ tạo thành các tam giác đều.

Ta có cách vẽ bóng đổ của mặt cầu gọn hơn như sau: Xác định bóng của tâm cầu O_2b (hoặc O_1b cho trường hợp mặt cầu đổ bóng lên P₁). Qua O_2b dựng trục ngắn elip vuông góc hướng tia sáng và có độ dài bằng 2r. Để xác định trục dài của elip, từ 2 đầu mút của trục ngắn, ta dựng các góc 60⁰ của tam giác đều đến cắt trục dài tại vị trí các đầu mút còn lại cần tìm.

Đối với các đường bao bóng bản thân e₁, e₂ của mặt cầu. Tương tự như trên, người ta cũng chứng minh được các đầu mút trục ngắn và trục dài của elip bóng bản thân sẽ tạo thành các tam giác đều và cách xác định nhanh các đường bóng này hoàn toàn giống cách xác định đường bao bóng đổ của mặt cầu.

Ta sẽ ứng dụng cách xác định nhanh bóng của mặt cầu như trên vào trường hợp mặt cầu đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm ngang phía sau – Hình 5-35 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P₁ và mặt phẳng hình chiếu bằng P₂).

Trước tiên ta cần xác định O_2b thật và O_{1b (ảo)} là bóng của tâm mặt cầu.

Hình 5-35

Để vẽ bóng đổ của mặt cầu trên hình chiếu bằng, qua tâm O_2b, ta dựng trục ngắn của elip vuông góc hướng tia sáng và có độ dài bằng 2r.

Dựng trục dài elip qua tâm O_2b theo hướng tia sáng và có các đầu mút được xác định bằng góc 60⁰ của các tam giác đều như hình vẽ. Dựng elip bóng đổ của mặt cầu qua các đầu mút của trục dài và trục ngắn.

Với cách làm tương tự cho bóng đổ của mặt cầu trên hình chiếu đứng, ta xác định được elip với tâm O_{1b (ảo)}. Hai elip bóng đổ của mặt cầu trên các hình chiếu giao nhau tại hai điểm trên trục hình chiếu x. Tổng hợp phần bóng chung của 2 elip như trên hình vẽ ta được toàn bộ bóng đổ của mặt cầu lên trên các mặt phẳng hình chiếu.

Để xác định các elip bóng bản thân của mặt cầu trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, ta cũng áp dụng cách làm tương tự của elip bóng đổ với lưu ý rằng ta có trục dài của elip trước tiên, sau đó vận dụng một nửa góc 60⁰ của tam giác đều (góc 30⁰) để đi tìm 2 điểm đầu mút trên trục ngắn. Ngoài ra ta cũng có thể tìm thêm 4 điểm phụ trợ thuộc elip bằng các đường gióng đứng và ngang từ 2 điểm đầu mút trục dài elip đến giao với trục đứng và ngang của mặt cầu. Cách trình bày được chỉ rõ như trên Hình 5-35.

>>> Kỹ thuật đổ bóng bằng màu nước

>>> Bóng tối và ánh sáng trong tranh

>>> Các bước đánh bóng khối